Das Monty-Hall-Paradoxon: Ist der Türwechsel wirklich vorteilhaft?
Das Monty-Hall-Paradoxon verunsichert seit Jahren viele Menschen: Sollte man nach der ersten Auswahl tatsächlich die Tür wechseln? Wir erklären die Hintergründe und Wahrscheinlichkeiten.
Einführung in das Monty-Hall-Paradoxon
Das Monty-Hall-Paradoxon ist ein berühmtes Problem aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, das seinen Namen von der US-amerikanischen TV-Show "Let's Make a Deal" und ihrem Moderator Monty Hall hat. Das Paradoxon zeigt auf überraschende Weise, wie unsere Intuition in Wahrscheinlichkeitsfragen oft fehlleitet.
Stellen Sie sich folgendes Szenario vor: Vor Ihnen stehen drei verschlossene Türen. Hinter einer Tür verbirgt sich ein Hauptpreis, hinter den anderen beiden nichts. Sie wählen eine Tür aus, aber öffnen sie noch nicht. Der Gastgeber, der weiß, was sich hinter den Türen befindet, öffnet nun eine der anderen beiden Türen, hinter der kein Preis ist. Anschließend bietet er Ihnen an, Ihre ursprüngliche Wahl zu ändern und die noch geschlossene andere Tür zu wählen.
Die Frage: Sollten Sie die Tür wechseln?
Die intuitive Antwort vieler Menschen lautet: "Es ist egal, ob ich wechsle oder nicht, die Gewinnchance ist 50 zu 50." Doch die Mathematik zeigt, dass der Wechsel wirklich vorteilhaft ist.
Die Wahrscheinlichkeitsanalyse
- Ursprüngliche Wahl: Sie wählen zufällig eine der drei Türen. Die Wahrscheinlichkeit, sofort den Hauptpreis zu erwischen, liegt bei 1/3.
- Hinter den anderen zwei Türen: Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Hauptpreis hinter einer der beiden anderen Türen befindet, liegt bei 2/3.
- Der Gastgeber öffnet eine Niete: Nachdem der Gastgeber eine der beiden Türen ohne Preis geöffnet hat, konzentriert sich die 2/3-Wahrscheinlichkeit auf die eine verbleibende geschlossene Tür.
- Wechseln oder bleiben: Wenn Sie bei der ursprünglichen Wahl bleiben, bleibt Ihre Gewinnchance bei 1/3. Wenn Sie wechseln, erhöht sich Ihre Gewinnchance auf 2/3.
Warum ist das so?
Der Schlüssel zum Verständnis liegt darin, dass der Gastgeber weiß, wo der Hauptpreis ist und seine Auswahl der Tür, die er öffnet, davon abhängig ist. Er öffnet niemals zufällig eine Tür mit dem Preis, sondern gezielt eine Niete. Dadurch verschiebt sich die Wahrscheinlichkeit zugunsten der anderen, noch geschlossenen Tür.
Varianten und Missverständnisse
Oft entstehen Missverständnisse, wenn angenommen wird, dass der Gastgeber zufällig eine Tür öffnet oder der Kandidat beim Wechseln keine Informationen erhält. Nur wenn der Gastgeber immer eine Niete öffnet und das Angebot zum Türwechsel macht, gilt das Paradoxon.
Was passiert bei mehr Türen?
Das Prinzip lässt sich auf mehr Türen ausweiten. Zum Beispiel bei 100 Türen wäre es sehr unwahrscheinlich, dass die ursprünglich gewählte Tür den Gewinn enthält (1/100). Wenn der Gastgeber 98 Nieten öffnet, bleibt eine Tür außer der ursprünglichen, hinter der die Gewinnchance deutlich höher (99/100) liegt. Auch hier ist der Wechsel vorteilhaft.
Fazit: Wechseln lohnt sich wirklich
Das Monty-Hall-Paradoxon zeigt, dass der Wechsel der Tür nach der Öffnung einer Niete die Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3 auf 2/3 erhöht. Obwohl die Intuition oft etwas anderes sagt, ist das Ergebnis durch Wahrscheinlichkeitsrechnung klar nachvollziehbar. Wer sicher gewinnen will, sollte also immer die Tür wechseln.
